Hoch 0 • Was ist x hoch 0, 2 hoch 0 und 0 hoch 0? (2024)

Was ist eigentlich x hoch 0? Wie du mit einer Null im Exponenten rechnest, erklären wir dir Video in unserem Beitrag.

Hoch 0 rechnen einfach erklärt

Bei einer Potenz multiplizierst du eine Zahl so oft mit sich selbst, wie im Exponenten der Zahl steht. Schau dir dazu die 2 hoch 3 an:

2³ = 2 • 2 • 2 = 8

Doch wie funktioniert das, wenn du eine 0 im Exponenten hast? Du kannst eine Zahl ja nicht 0 mal mit sich selbst multiplizieren, oder?

Die Antwort ist: Eine beliebige Zahl hoch 0 ist gleich 1! Dabei ist es egal, welche Zahl du hoch Null nimmst:

• 2⁰ = 1
• 234⁰ = 1
• e⁰ = 1

Ausnahme: 0 hoch 0 ist nicht definiert. Schauen wir uns doch mal an, warum das so ist.

Warum ist Hoch 0 gleich 1?

Nutzen wir als Beispiel die Reihe der Potenzen von 2:

Du fängst bei der 2¹ an. Immer wenn sich der Exponent um 1 erhöht, musst du die vorherige Zahl mit 2 malnehmen. Die Reihe geht also 2, 4, 8, 16, u. s. w.

In die andere Richtung, also wenn sich der Exponent um 1 verringert, teilst du immer durch 2. Wenn du von der 2¹ zur 2⁰ gehst, musst du also die 2 durch 2 teilen: 2 : 2 = 1.Das Ergebnis der Potenz 2 hoch 0 ist also 1!

Das kannst du dir allgemein so vorstellen: Eine 1 kannst du auch als Bruch schreiben, bei der du eineZahl durch sich selbst teilst.

Wenn du das umformst und die Exponenten voneinander abziehst, kommst du auf das allgemeine x⁰.

Potenzen mit Exponent 0 berechnen

Dass x hoch 0 immer 1 ist, ist allgemeingültig. Das bedeutet, dass du auch komplexere Terme schnell ausrechnen kannst, wenn du siehst, dass sie hoch 0 genommen werden. Rechnen wir das folgende Beispiel aus:

Mithilfe der Potenzregeln kannst du den Term in der Klammer aufteilen und jeden Teil einzeln hoch 0 rechnen. Wenn ein Teil des Termsselbst einen Exponenten hat, multiplizierst du den mit der 0:

Wie du siehst, ist jeder Ausdruck gleich 1, wenn er eine Potenz mit 0 im Exponenten hat.

Besonderheit: 0 hoch 0

Dass eine Zahl x hoch 0 immer gleich 1 ist, gilt nur, solange du für das x keine 0 verwendest. Der Ausdruck 0 hoch 0 ist nämlich nicht definiert. Schau dir dazu die Potenzen mit der 0 als Basis und verschiedenen Exponenten an:

0² = 0 • 0 = 0
0⁴ = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

Wenn die Basis einer Zahl 0 ist, dann ist das Ergebnis einer Potenz auch 0 — egal was der Exponent ist. Du rechnest ja immer 0 mal 0.

Aber was ist dann mit null hoch null? Die eine Regel sagt, es müsste1 ergeben, weil 0 im Exponenten steht.Die andere Regel sagt, dass bei der Basis 0das Ergebnis immer 0 ist.

Weil sich die Aussagen widersprechen, ist 0 hoch 0 undefiniert. Dein Taschenrechner wird dir allerdings sagen, dass das Ergebnis trotzdem 1 ist. Das liegt daran, dass es in bestimmten Feldern der Mathematik sinnvoll ist, 0 hoch 0 als 1 zu definieren.

Hoch 0 — häufigste Fragen

• Warum ist hoch 0 gleich 1?
  Du kannst die Zahl 1 so umschreiben, dass du auf die allgemeine Darstellung x⁰ = 1 kommst. Das bedeutet, dass eine beliebige Zahl (außer 0) hoch 0 immer 1 sein muss.
  
• Was ist, wenn etwas hoch 0 ist?
  Wenn eine Zahl oder ein Term hoch 0 ist, dann ist das Ergebnis dieser Potenz immer gleich 1.
  
• Ist 0 hoch 0 gleich 1?
  Das Ergebnis von 0 hoch 0 ist nicht definiert. Es kann je nach Betrachtung entweder 0 oder 1 sein. Meistens wird 0⁰ gleich 1 definiert, damit man in bestimmten mathematischen Bereichen damit rechnen kann.

Eulersche Zahl

Auch wenn du e hoch 0 rechnest, kommst du als Ergebnis auf 1. Wenn du mehr zu der eulerschen Zahl e erfahren willst, dann schau hier vorbei.

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